Question

3．△ABC内接于⊙0，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙0于点D连接AD．
（1）如图1，求证：∠BAD=∠CAD；
（2）如图2，若0H=DH，求∠BAC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BK⊥AD于点K，连接HK，若HK=$\frac{3}{2}$，试说明线段AB与AC的差为定值．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理即可得到结论；
（2）如图2，首先求出∠BOH的度数，运用圆周角定理即可解决问题；
（3）如图3，作辅助线，首先证明△BAK≌△MAK，得到BK=MK，AM=AB，进而判断HK为△BCM的中位线，即可解决问题．

解答 解：（1）∵OH⊥BC于点H，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD；

（2）如图2，连接OB、OC，
∵OH=DH，OB=OD，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB，而OH⊥BH，
∴∠OBH=30°，∠BOH=60°
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°；

（3）如图3，分别延长BK、AC，交于点M；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAK=∠MAK；
在△BAK与△MAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠BAK=∠MAK}\\{AK=AK}\end{array}\right.$，
∴△BAK≌△MAK（SAS），
∴BK=MK，AM=AB
∵OD⊥BC，
∴BH=HC，
∴HK为△BCM的中位线，
∴CM=2HK=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴AB-AC=AM-AC=CM=3．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质等知识．该题难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．