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如图,在直角坐标系xOy中,Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A,C始终在x轴的正半轴上,B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的中点,AB与OD相交于E,当点B位置变化时,Rt△OAB的面积恒为
试解决下列问题:
(1)点D坐标为( );
(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;
(3)等式BO=BD能否成立?为什么?
(4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.
【答案】分析:(1)在Rt△OCD中,根据勾股定理易求OC=CD=
(2)根据Rt△OAB的面积是可求出B点的坐标,因为BD2=AC2+(AB-CD)2,所以把B点的坐标代入可得BD长,即可表示成关于t的函数关系式.
(3)假设OB=BD,在Rt△OAB中,用t把OB表示出来,根据题(2)中用t表示的BD.两者相等,可得一二次函数表达式,用根的判别式判断是否有解.
(4)两种情况,先假设∠EBD=90°时(如图2),此时F、E、M三点重合,根据已知条件此时四边形BDCF为直角梯形,然后假设∠EDB=90°时(如图3),根据已知条件,此时四边形BDCF为平行四边形,在Rt△OCD中,OB2=OD2+BD2,用t把各线段表示出来代入,可求出BD=CD=,即此时四边形BDCF为菱形.
解答:解:(1)D();(1分)

(2)由Rt△OAB的面积为,得B(t,),
∵BD2=AC2+(AB-CD)2
∴BD2=(-t)2+(-2=t2+-2(t+)+4①
=
∴BD=|t+②;

(3)解法一:若OB=BD,则OB2=BD2
在Rt△OAB中,OB2=OA2+AB2=t2+
由①得t2+
解得:t+,∴t2-t+1=0,
∵△=-4=-2<0,∴此方程无解.
∴OB≠BD.

解法二:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.

∴直线CM的函数关系式为y=-x+,③
由Rt△OAB的面积为.④
联立③,④得:x2-x+1=0,
∵△=-4=-2<0,∴此方程无解,
∴OB≠BD.

解法三:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图1
过点B作BG⊥y轴于G,CM交y轴于H,
∵S△OBG=S△OAB=
而S△OMH=S△MOC=,(5分)
显然与S△HMO与S△OBG矛盾.
∴OB≠BD.

(4)如果△BDE为直角三角形,因为∠BED=45°,
①当∠EBD=90°时,此时F,E,M三点重合,如图2
∵BF⊥x轴,DC⊥x轴,∴BF∥DC.
∴此时四边形BDCF为直角梯形.

②当∠EDB=90°时,如图3
∵CF⊥OD,
∴BD∥CF.
又AB⊥x轴,DC⊥x轴,
∴BF∥DC.
∴此时四边形BDCF为平行四边形.
下证平行四边形BDCF为菱形:

解法一:在△BDO中,OB2=OD2+BD2
∴t2+
∴t+
[方法①]t2-2t+1=0,∵BD在OD上方
解得:t=-1,=+1或t=+1,=-1(舍去).

[方法②]由②得:BD=t+
此时BD=CD=
∴此时四边形BDCF为菱形(9分)

解法二:在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中
∵OA=AE=t,OE=t,则ED=BD=2-t,
∴AB=AE+BE=t+(2-t)=2-t,
∴2以下同解法一,
此时BD=CD=
∴此时四边形BDCF为菱形.(9分)
点评:此题考查了一次函数解析式的确定、根的判别式、三角形面积的求法、菱形的判定以及勾股定理的应用等知识,综合性强,难度较大.
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