Question

16．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：AM=BN；
（2）求∠APN的度数．

Answer 1

分析 （1）由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，证明△ABM≌△BCN，得出对应边相等即可；
（2）由△ABM≌△BCN得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABM=∠C}&{\;}\\{BM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴AM=BN．
（2）解：由（1）得△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
∴∠APN的度数为108°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．