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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,DE:BC=1:3.若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度在射线BC上运动.当点F运动时间t>0时,直线FD与过点A且平行于BC精英家教网的直线相交于点G,射线GE与射线BC相交于点H. AB与GH相交于点O.请解答下列问题:
(1)设△AEG的面积为S,写出S与t的函数关系式;
(2)当t为多少秒时,AB⊥GH;
(3)求△GFH的面积.
分析:(1)△AEG的面积S等于AE与AG乘积的一半,而且△ADG∽△BDF,然后利用相似比即可写出S与t的函数关系式;
(2)当AB⊥GH时,AG=AE=2,根据(1)中结论即可算出t的值;
(3)利用相似三角形可证得BF=CH,所以S△GFH=
1
2
FH•AC=
1
2
BC•AC.
解答:解:(1)设BF=t
由DE:BC=1:3,则
AD
BD
=
AE
EC
=
1
2

而GA∥BC可得△ADG∽△BDF(1分)
AG
BF
=
1
2

∴AG=
1
2
BF=
1
2
t(2分)
∴S=
1
2
AG•AE=
1
2
×
1
2
t×2=
1
2
t;(3分)

(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠OAE=45°(4分)
若AB⊥GH
则在△AOG、△AOE中,∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2(5分)
∵已证AG=
1
2
BF
∴BF=4
∴t=4(6分)
当t为4秒时,AB⊥GH;(7分)

(3)∵GA∥BH,∴△ADG∽△BDF,△AEG∽△CEH
AG
BF
=
AD
DB
=
1
2
AG
CH
=
AE
EC
=
1
2

∴BF=CH(8分)
∴FH=BC=6(9分)
∴S△GFH=
1
2
FH•AC=
1
2
BC•AC=
1
2
×6×6=18.(10分)
点评:本题主要考查一次函数和相似三角形的综合应用.
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75
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(  )
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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16
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