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    5．如图1，抛物线y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）2+n]与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．
    （1）求m、n的值；
    （2）如图2，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；
    （3）如图3，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2，再利用对称性得到2-（m-2）=2m+3-2，解方程可得m的值，从而得到A（-1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）2+n]可求出n的值；
    （2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{5}$x+3，设N（x，-$\frac{3}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x+3），则D（x，-$\frac{3}{5}$x+3），根据三角形面积公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{15}{2}$x，然后利用二次函数的性质求解；
    （3）先利用勾股定理计算出BC=$\sqrt{34}$，再分类讨论：当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，证明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标．

    解答 解：（1）∵抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）2+n]=-$\frac{3}{5}$（x-2）2-$\frac{3}{5}$n，
    ∴抛物线的对称轴为直线x=2，
    ∵点A和点B为对称点，
    ∴2-（m-2）=2m+3-2，解得m=1，
    ∴A（-1，0），B（5，0），
    把A（-1，0）代入y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）2+n]得9+n=0，解得n=-9；
    （2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，
    抛物线解析式为y=-$\frac{3}{5}$[（x-2）2-9]=-$\frac{3}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x+3，
    当x=0时，y=3，则C（0，3），
    设直线BC的解析式为y=kx+b，
    把B（5，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
    ∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{5}$x+3，
    设N（x，-$\frac{3}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x+3），则D（x，-$\frac{3}{5}$x+3），
    ∴ND=-$\frac{3}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x+3-（-$\frac{3}{5}$x+3）=-$\frac{3}{5}$x2+3x，
    ∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=$\frac{1}{2}$•5•ND=-$\frac{3}{2}$x2+$\frac{15}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{75}{8}$，
    当x=$\frac{5}{2}$时，△NBC面积最大，最大值为$\frac{75}{8}$；
    （3）存在．
    ∵B（5，0），C（0，3），
    ∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
    当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，
    设PM=t，则CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，
    ∵∠MBP=∠OBC，
    ∴△BMP∽△BOC，
    ∴$\frac{PM}{OC}$=$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{\sqrt{34}-t}{5}$=$\frac{BP}{\sqrt{34}}$，解得t=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，BP=$\frac{17}{4}$，
    ∴OP=OB-BP=5-$\frac{17}{4}$=$\frac{3}{4}$，
    此时P点坐标为（$\frac{3}{4}$，0）；
    当∠MPB=90°，则MP=MC，
    设PM=t，则CM=t，MB=$\sqrt{34}$-t，
    ∵∠MBP=∠CBO，
    ∴△BMP∽△BCO，
    ∴$\frac{MP}{OC}$=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{BP}{BO}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{\sqrt{34}-t}{\sqrt{34}}$=$\frac{BP}{5}$，解得t=$\frac{102-9\sqrt{34}}{25}$，BP=$\frac{34-3\sqrt{34}}{5}$，
    ∴OP=OB-BP=5-$\frac{34-3\sqrt{34}}{5}$=$\frac{3\sqrt{34}-9}{5}$，
    此时P点坐标为（$\frac{3\sqrt{34}-9}{5}$，0）；
    综上所述，P点坐标为（$\frac{3\sqrt{34}-9}{5}$，0）或（$\frac{3}{4}$，0）．

    点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形的性质；掌握相似三角形的判定，能运用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．

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