Question

如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．

(1)求证：BP＝DP；

(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP＝DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

⑴解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP＝DP．　　　　2分 　　解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP＝DP．　　　　2分 　　⑵不是总成立．　　　　3分 　　当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP＝DP不成立．　　　　5分 　　说明：未用举反例的方法说理的不得分． 　　⑶连接BE、DF，则BE与DF始终相等．　　　　6分 　　在图1中，可证四边形PECF为正方形，　　　　7分 　　在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC． 　　从而有BE＝DF．　　　　8分