【题目】如图,边长为的正方形的对角线交于点,把边、分别绕点、同时逆时针旋转得四边形,其对角线交点为,连接.下列结论:
①四边形为菱形;
②;
③线段的长为;
④点运动到点的路径是线段.其中正确的结论共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
①根据旋转角是60°以及正方形的四个角都是直角可得∠BCD′=30°,然后证明A′B∥CD′,进而得到四边形A′BCD′是平行四边形,再根据A′B=BC,即可证明四边形A′BCD′是菱形;
②根据旋转角是60°求出点B到A′D′的距离是A′B的一半,也就是AB的一半,然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明;
③先求出OA′的长度,再根据菱形的对边相等,减去正方形的边长即可;
④根据旋转的性质,点O以BC的中点为圆心,以BC的一半为半径逆时针旋转可以得到点O′,所以路径是弧而非线段.
①根据题意,∠A′BA=∠D′CD=60°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,
∴∠BCD′=30°,
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°,
∴A′B∥CD′,
又∵A′B=CD′=AB,
∴四边形A′BCD′是平行四边形,
∵AB=BC(正方形的边长相等),
∴四边形A′BCD′是菱形,故本题小题正确;
②∵∠ABA′=60°,AB=2,
∴点B到A′D′的距离是:A′B=AB=1,
∴S四边形A′BCD=BC(A′B)=2×1=2,
S正方形ABCD=BCAB=2×2=4,
∴S四边形A′BCD=S正方形ABCD,故本小题正确;
③∵点O是AC的中点,
∴OA′=A′Bsin60°+BC=2×+×2=+1,
∴OD′=OA′A′D′=+12=1,故本小题正确;
④根据菱形的对角线互相垂直可得△BCO′是直角三角形,
∴以BC的中点为圆心,以BC的一半为半径,点O逆时针旋转可以到达点O′的位置,经过路径是弧而不是线段OO′,故本小题错误.
综上所述,正确的结论有①②③共3个.
故选:C.
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【题目】如图①所示,将两边AD与BC平行的纸条ABCD沿BD折叠,使点C落在C′处,AD与BC′相交于点E.
(1)求证:BE=DE;
(2)如图②,分别过点B,D作BM⊥AD,DN⊥BC′,垂足分别为M,N.求证:△BMD≌△DNB;
(3)若BM=4cm,DM=8cm,求ME的长.
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【题目】我国是一个严重缺水的国家.为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6吨时,水价为每吨2元,超过6吨时,超过的部分按每吨3元收费.该市某户居民5月份用水x吨,应交水费y元.
(1)若0<x≤6,请写出y与x的函数关系式.
(2)若x>6,请写出y与x的函数关系式.
(3)在同一坐标系下,画出以上两个函数的图象.
(4)如果该户居民这个月交水费27元,那么这个月该户用了多少吨水?
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【题目】如图,中,,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:
①作的平分线交于点;
②作边的垂直平分线,与相交于点;
③连接,.
请你观察图形解答下列问题:
(1)线段,,之间的数量关系是________;
(2)若,求的度数.
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【题目】已知矩形和点,当点在上任一位置(如图所示)时,易证得结论:,请你探究:当点分别在图、图中的位置时,、、和又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图证明你的结论.
答:对图的探究结论为________;
对图的探究结论为________;
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图,在中,.
(1)先作的平分线交边于点,再以点为圆心,长为半径作⊙.
(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)请你判断(1)中与⊙的位置关系,并证明你的结论.
(3)若,,求出(1)中⊙的半径.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C,线段BC的长度为6,抛物线y=﹣2x2+b与y轴交于点A,则b=( )
A. 1 B. 4.5 C. 3 D. 6
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