Question

4．如图所示，⊙O上有四点，A、B、C、D，且AB为直径，CD平分∠ACB，BC=8CM，AC=6cm．
（1）求AB的长；
（2）求AD，BD的长；
（3）求四边形ACBD的面积；
（4）求线段CD的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB即可；
（2）由圆周角定理和角平分线得出∠ACD=∠BCD=45°，得出$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，因此AD=BD，即△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，即可得出结果；
（3）四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$AD•BD，即可得出结果；
（4）作BE⊥CD于E，则△BCE是等腰直角三角形，得出BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4$\sqrt{2}$cm，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．

解答 解：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm）；
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
即△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$（cm）；
（3）四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积
=$\frac{1}{2}$AC•BC+$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$×6×8+$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=49（cm²）；
（4）作BE⊥CD于E，如图所示：
则△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4$\sqrt{2}$cm，
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$cm，
∴CD=CE+DE=7$\sqrt{2}$cm．

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积的计算方法等知识；本题综合性强，难度适中．