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    如图1，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点作OE⊥OF分别交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分线EP交直线AC于P．
    （1）①求证：OE=OF；
    ②写出线段EF、PC、BC之间的一个等量关系式，并证明你的结论；
    （2）如图2，当∠EOF绕O点逆时针旋转一个角度，使E、F分别在CD、BC的延长线上，请完成图形并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）．
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    分析：（1）①把OE、OF分别放到两个三角形中，证明三角形全等即可．
    ②找到中间跟三条线段有关系的线段OE、OP、OC，由线段之间的关系求解．
    （2）画出图形，根据（1）中的求解方法求解，把两条线段放在两个三角形中证明三角形全等以及找到中间的线段求解．
    解答：解：（1）①∵OE⊥OF，且正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，
    ∴∠BOF=∠EOC，OB=OC，∠OBF=∠OCE，
    ∴△BOF≌△COE，
    ∴OE=OF．
    ②EF+
    		2
    CP=BC    ，
    证明：∵△BOF≌△COE，
    ∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．精英家教网
    ∵∠FEC的角平分线EP交直线AC于P，
    ∴∠FEP=∠CEP．
    ∵∠OPE是△CPE的外角，
    ∴∠OPE=∠PCE+∠CEP=45°+∠CEP，
    ∵∠OEF=45°，∠OEP=∠OEF+∠FEP=45°+∠FEP
    ∴∠OEP=∠OPE．
    ∴OE=OP．
    ∴EF=
    		2
    OE=
    		2
    OP．
    ∵BC=
    		2
    OC=
    		2
    （OP+CP），
    ∴EF+
    		2
    CP=BC    ．
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    （2）①成立．
    ②不成立应为EF-
    		2
    CP=BC    ．
    图形如图所示，
    证明如下：∠OEP=45°-∠CEP，
    又∵∠ECP=90°，
    ∴∠CQP=∠ECQ+∠CEP=90°+∠CEP．
    ∵∠QCP=∠BCO=45°，
    ∴∠P=180°-∠CQP-∠QCP=45°-∠CEP．
    ∴∠P=∠OEP．
    ∴OE=OP．
    ∴EF=
    		2
    OE=
    		2
    OP．
    ∵BC=
    		2
    OC=
    		2
    （OP-CP），
    ∴EF-
    		2
    CP=BC    ．
    点评：本题考查了正方形的性质，利用正方形的特殊性质求解．结合了三角形全等的问题，并且涉及到探究性的问题，属于综合性比较强的问题．要求解此类问题就要对基本的知识点有很清楚的认识，熟练掌握．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    14、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．

    （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
    （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    作图题
    （1）如图1，已知?ABCD两边长分别是1和2，一个内角为60°，将?ABCD剪一刀成两部分，并拼成一个等腰三角形．要求在原图上画出剪切线和组成的等腰三角形，并填写等腰三角形的周长（本题不限作图工具）
    图1，周长=
    6
    6
                          
    图2，周长=
    2+2
    		17
    2+2
    		17

    （2）如图2，已知正方形ABCD边长为2，将正方形剪两刀成三部分，并拼成一个等腰非直角三角形，要求在原图上画出剪切线和拼成的三角形，并填出等腰三角形的周长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
    （1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
    （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
    ①AE=EF是否总成立？请给出证明；
    ②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，求此时点F的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，已知正方形ABCD与正方形DEFG，点A、D、E三点共线，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    （2）如图2，将图1中正方形DEFG绕点D，逆时针转到如图的位置，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    请说明理由．
    （3）如图3，以△ABC三边向外作三个正方形，分别为正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK，并且△ABC的边AC长为5，边AB长为4，则三角形AKE，三角形CDF，三角形BGH的面积和的最大值为
    30
    30
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知正方形OABC的边长为4，等腰直角三角板OEF的直角边OE、OF分别在OA、OC上，且OE=2．将三角板OEF绕点O逆时针旋转至OE1F1的位置，旋转角为α，连接CF1、AE1．
    （1）请在图2中画出三夹板OEF逆时针旋转90°时的图形，并直接判断此时△OAE1与△OCF1是否全等．
    （2）当0°＜α＜90°时，∠OAE1与∠OCF1是否总有上述关系并加以证明；
    （3）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE1∥CF1？若存在，请求出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

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