Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：
（1）求证：四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？
（4）对于任意△ABC，?AFED是否总存在？

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：

分析：（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．
（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．
（3）AB=AC，根据菱形的判定推出即可；
（4）当∠BAC=60°时四边形不存在．

解答：（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；

（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）解：当∠BAC≠60°且AB=AC时，四边形AFED是菱形，
∵此时AB=AC=AF=AD，四边形AFED是平行四边形，
∴四边形AFED是菱形；

（4）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

点评：本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．