Question

12．已知抛物线y=ax²+bx+c经过（0，1）和（2，-3）两点．
（1）如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围；
（2）如图，若对称轴为y=-1，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线平移到抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²，直接写出其对称轴与两段抛物线围成的图形面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法得出a，b，c的关系，进而利用抛物线对称轴位置以及开口方向得出答案；
（2）直接利用（1）中所求，再利用对称轴得出抛物线解析式；
（3）直接利用配方法得出二次函数的顶点坐标，即可得出阴影部分面积．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+c经过（0，1）和（2，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{4a+2b+c=-3}\end{array}\right.$，
则2a+b=-2，
∵抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴a=$\frac{-2-b}{2}$＞-1，
∴a的取值范围是：-1＜a＜0；

（2）∵对称轴为y=-1，
∴-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵2a+b=-2，
∴4a=-2，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，则b=-1，
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²-x+1；

（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+1
=-$\frac{1}{2}$（x²+2x）+1
=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{3}{2}$
∴此抛物线的顶点坐标为：（-1，$\frac{3}{2}$），
∴其对称轴与两段抛物线围成的图形面积为：1×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数的几何变换以及二次函数的性质等知识，正确得出函数解析式是解题关键．