Question

18．已知抛物线y=-x²+mx+m+1与x轴交于A、B两点（A在B点的右侧），与y轴交于点C．
（1）抛物线总经过一个定点D，请直接写出点D的坐标．
（2）已知⊙P是以AC为直径的圆，动点Q在抛物线上，当m=3时，是否存在点Q，使得直线AQ与⊙P相切，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当m=2时，抛物线的顶点为E，对称轴EF与AC交于点H，与x轴交于点F，设过H的直线与抛物线交于M（x₁，y₂）、N（x₂，y₂），试判断当|x₁-x₂|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）抛物线解析式化为y=-（x+1）（x-1-m），即可得到点D坐标；
（2）利用圆的切线的判定即可得到AQ⊥AC，进而得出AQ解析式，结合抛物线解析式即可得到点Q坐标；
（3）先确定出点H坐标，进而设出过点H的直线解析式结合抛物线解析式，用根与系数的关系求出W最小时的k值，即是当|x₁-x₂|的值最小的k的值，进而得出直线方程，便可判断出MN与x轴的位置关系．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+mx+m+1=-[x²-1-m（x+1）]=-（x+1）（x-1-m），
∴当x=-1时，y=0，
∴抛物线总经过一个定点D，点D的坐标为（-1，0）；
当m=3时，抛物线解析式为y=-x²+3x+4①，
∴A（4，0），B（-1，0），C（0，4），
∴直线AC解析式为y=-x+4，
∵使得直线AQ与以AC为直径的⊙P相切，
∴AQ⊥AC，
∴直线AQ的解析式为y=x-4②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴Q（-2，-6）；
（3）MN∥x轴，
理由：当m=2时，抛物线解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4③，
∴E（1，4），∴抛物线的对称轴为x=1，
∵C（0.3），A（3，0），
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
∴H（1，2），
设过点H的直线的解析式为y=kx+b，
∵H（1，2），
∴过点H的直线的解析式为y=kx+2-k④，
联立③④得，x²+（k-2）x-（k+1）=0，
∴x₁+x₂=-（k-2），x₁x₂=2-k，
设W=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（k-2）²+4（k+1）=k²+8，
∴当k=0时，最小为8，即：|x₁-x₂|的值最小为2$\sqrt{2}$，此时k=0，
∴过点H的直线的解析式为y=2，
∴MN∥x轴．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了定点的确定方法，圆的切线的性质，函数极值的确定，解本题的关键是解方程组，难点是建立方程组．