Question

3．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=$\frac{1}{2}$∠CGE．
其中正确的结论是①③④（填序号）

Answer 1

分析 根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．

解答 解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故①正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故②错误；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故③正确；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=$\frac{1}{2}$∠CGE，故④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．