Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P是AB延长线上一点，连接PC交DB的延长线于点F，且∠PFB＝3∠CAB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）延长AC，DF相交于点G，连接PG，请探究∠CPG和∠CAB的数量关系，并说明理由；

（3）若tan∠CAB＝，CF＝5，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）r＝

【解析】

（1）连接OC，由∠PEB＝3∠A＝∠D+∠DCF，∠D＝∠A，得∠DCF＝2∠A，∠COB＝2∠A，∠DCF＝∠COB，因为∠COB+∠OCE＝90°，∠DCF+∠OCE＝90°，即∠OCP＝90°，所以PC是⊙O的切线；

（2）先证明△ACP∽△DCG，所以，又∠ACD＝∠PCG，所以△PCG～△ACD，因此∠CPG＝∠CAD＝2∠CAB；

（3）由（2）得，PC＝PG，∠GPC＝∠CAD＝∠DCP，所以CD∥PG，于是△GFP～△DFC，又tan∠CAB＝，CF＝5，

设BP＝a，PC﹣PG＝3a，所以，CE＝，AE＝3CE＝，BE＝AP﹣BP﹣AE＝8a﹣，所以，解得，所以r＝．

解：（1）连接OC，

∵∠PEB＝3∠A＝∠D+∠DCF，

∵∠D＝∠A，

∴∠DCF＝2∠A，

∴∠COB＝2∠A，

∠DCF＝∠COB，

∵∠COB+∠OCE＝90°，

∴∠DCF+∠OCE＝90°，

即∠OCP＝90°，

∴PC是⊙O的切线；

（2）∠CPG＝2∠CAB．

∵∠BCD＝∠CDB＝∠CAB＝∠ACO，

∠ACP＝∠ACO+∠OCP＝∠ACO+90°，

∠DCG＝∠DCB+∠BCG＝∠DCB+90°，

∴∠ACP＝∠DCG，

∴△ACP∽△DCG，

∴，

又∵∠ACD＝∠PCG，

∴△PCG～△ACD，

∴∠CPG＝∠CAD＝2∠CAB；

（3）由（2）得，

PC＝PG，

∠GPC＝∠CAD＝∠DCP，

∴CD∥PG，

∴△GFP～△DFC，

∵tan∠CAB＝，CF＝5，

设BP＝a，PC﹣PG＝3a，

，

，

CE＝，

AE＝3CE＝，

∴BE＝AP﹣BP﹣AE＝8a﹣，

∵，

∴，

，

AB＝8a＝，

∴r＝．