Question

在△ABC中，sin∠A=sin∠B=

4

5

，AB=12，M为AC的中点，BM的垂直平分线交AB于点N，那么BN的长为

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：PN垂直平分BM，作CD⊥AB于D，MH⊥AB于H，如图，由sin∠A=sin∠B得到∠A=∠B，则根据等腰三角形的性质得AD=BD

1

2

AB=6，在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sin∠A=

CD

AC

=

4

5

，可设CD=4t，AC=5t，根据勾股定理得AD=3t，则3t=6，解得t=2，所以AC=10，AM=5，再在Rt△AMH中，利用sin∠A=

MH

AM

=

4

5

得到MH=4，于是有AH=3，HB=AB-AH=9，由于PN垂直平分BM，根据线段的垂直平分线的性质得NM=NB，设NB=x，则NM=x，HN=9-x，在Rt△MHN中，根据勾股定理有x²=4²+（9-x）²，解得x=

97

18

．

解答：解：如图，PN垂直平分BM，
作AD⊥AB于D，MH⊥AB于H，
∵sin∠A=sin∠B，
∴∠A=∠B，
∴AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×12=6，
在Rt△ACD中，sin∠A=

CD

AC

=

4

5

，
设CD=4t，AC=5t，
∴AD=

AC2-CD2

=3t，
∴3t=6，解得t=2，
∴AC=10，
∵M点为AC的中点，
∴AM=5，
在Rt△AMH中，sin∠A=

MH

AM

=

4

5

，
∴MH=4，
∴AH=3，HB=AB-AH=9，
∵PN垂直平分BM，
∴NM=NB，
设NB=x，则NM=x，HN=9-x，
在Rt△MHN中，
∵NM²=MH²+HN²，
∴x²=4²+（9-x）²，解得x=

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，
即NB的长为

97

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．
故答案为

97

18

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．