Question

11．设三所学校A，B，C分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现值网络时代，要在三所学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：AB+BC；方案乙：AD+BC（D为BC中点）；方案丙：AO+BO+CO（O为三角形三条高的交点），请你帮助计算以下哪种方案线路最短？

Answer 1

分析 由三角形ABC为边长为a的等边三角形，如图甲求出两边之和得到铺设通讯电缆的长度；如图乙，在直角三角形ABDC中，利用勾股定理表示出AD，由AD+BC表示出铺设通讯电缆的长度；如图丙，O为三角形三条高的交点，根据方案2求出的高AD，求出AO的长，由OA+OB+OC表示出铺设通讯电缆的长度，比较大小即可得到铺设方案好的方案为方案3．

解答 解：如图甲所示，铺设的通讯电缆长为a+a=2a；
如图乙所示，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
则铺设的通讯电缆长为a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$a；
如图丙所示，∵△ABC为等边三角形，且O为三角形三条高的交点，
∴DO=x，则BO=2x，BD=$\frac{a}{2}$，
故x²+（$\frac{a}{2}$）²=（2x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，则BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
则铺设的通讯电缆长为AO+OB+OC=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\sqrt{3}$a，
∵$\sqrt{3}$a＜$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$a＜2a，
则方案丙铺设方案好．

点评 此题考查了等边三角形的性质以及勾股定理，是一道方案型试题，分别表示出三个图形通讯电缆的长度是解本题的关键．