Question

13．在△ABC中，∠CAB=70°，∠CAB的平分线与∠ACB的平分线相交于l，若AC+AI=BC，求∠ACB的度数．

Answer 1

分析 连接BI，在CB截取CP=CA，连接IP．由△ICA≌△ICP，推出∠4=∠5=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°，IP=IA，由BC=AC+IA=PC+BP，推出BP=AI=PI，推出∠1=∠3=∠2=17.5°，再根据∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC计算即可．

解答 解：连接BI，在CB截取CP=CA，连接IP．

∵∠CAB的平分线与∠ACB的平分线相交于l，
∴I为内心，
∴∠1=∠2，
在△ICA和△ICP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CP}\\{∠ICA=∠ICP}\\{IC=IC}\end{array}\right.$，
∴△ICA≌△ICP，
∴∠4=∠5=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°，IP=IA，
∵BC=AC+IA=PC+BP，
∴BP=AI=PI，
∴∠1=∠3=∠2，
∵∠4=∠1+∠3，
∴∠1=∠3=∠2=17.5°，
∴∠ABC=35°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-35°-70°=75°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．