Question

5．如图，矩形ABCD中，P为AD上一点．将△ABP沿BP翻折至△EBP，点A与点E重合：

（1）如图1，AB=10，BC=6，点E落在CD边上，求AP的长；
（2）如图2，若AB=8，BC=6，PE与CD相交于点O，且OE=OD，求AP的长；
（3）如图3，若AB=4．BC=6，点P是AD的中点，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）设AP=EP=x，则PD=6-x，在Rt△DEP中，根据DE²+DP²=PE²，得到方程2²+（6-x）²=x²，求得x的值即可；
（2）由折叠得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程6²+（8-x）²=（x+2）²，解方程即可；
（3）过E作GF∥AB，交AD于G，交BC于F，则∠PGE=∠EFB=90°，GF=AB=4，设GE=x，则EF=4-x，由折叠可得，∠BEP=∠A=90°，AB=BE=4，PE=AP=$\frac{1}{2}$AD=3，根据△PEG∽△EBF，得出PG=$\frac{3}{4}$（4-x），在Rt△EGP中，根据GE²+PG²=PE²，得出方程x²+[$\frac{3}{4}$（4-x）]²=3²，求得GE=$\frac{72}{25}$，GD=DP-PG=$\frac{54}{25}$，最后在Rt△DEG中，根据DE=$\sqrt{D{G}^{2}+G{E}^{2}}$进行计算即可．

解答 解：（1）如图1，由折叠可得，AP=EP，AB=EB=10，
Rt△BCE中，由勾股定理可得，CE=8，
∴DE=CD-CE=2，
设AP=EP=x，则PD=6-x，
∵Rt△DEP中，DE²+DP²=PE²，
∴2²+（6-x）²=x²，
解得x=$\frac{10}{3}$，
∴AP的长为$\frac{10}{3}$；

（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{OD=OE}\\{∠DOP=∠EOG}\end{array}\right.$，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，
∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，
根据勾股定理得：BC²+CG²=BG²，
即6²+（8-x）²=（x+2）²，
解得x=4.8，
∴AP=4.8；

（3）如图3，过E作GF∥AB，交AD于G，交BC于F，则∠PGE=∠EFB=90°，GF=AB=4，
设GE=x，则EF=4-x，
由折叠可得，∠BEP=∠A=90°，AB=BE=4，PE=AP=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴∠PEG=∠EBF，
∴△PEG∽△EBF，
∴$\frac{EF}{PG}$=$\frac{BE}{EP}$，即$\frac{4-x}{PG}$=$\frac{4}{3}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$（4-x），
∵Rt△EGP中，GE²+PG²=PE²，
∴x²+[$\frac{3}{4}$（4-x）]²=3²，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{72}{25}$，
∴GE=$\frac{72}{25}$，GD=DP-PG=3-$\frac{3}{4}$（4-$\frac{72}{25}$）=$\frac{54}{25}$，
∴Rt△DEG中，DE=$\sqrt{D{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{54}{25}）^{2}+（\frac{72}{25}）^{2}}$=3.6，
∴DE的长为3.6．

点评 本题属于几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，依据直角三角形的勾股定理，列方程进行求解．解题时注意方程思想的灵活运用．