Question

17．如图，AB∥CD，将一个三角形的纸板放在图1中，三角形的两条边分别与AB，CD交于G，F两点，设∠E=a°，∠AGE=x°，∠DFE=y°，且$\sqrt{a-30}$+|x-2y|=0
（1）求∠E；
（2）求∠DFE；
（3）P是EF上一点（如图2），M在直线AB上，MN平分∠AMP，PQ∥MN，PH平分∠MPF，请问∠HPQ的度数是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质易得α=30，x=2y，即∠E=30°；
（2）如图1，根据平行线的性质，由AB∥CD得∠BME=∠DFE=y°，利用邻补角的定义得到∠EMG=180°-y°，再根据三角形外角性质得x°=30°+180°-y°，加上x=2y，于是可解得y°=70°，即∠DFE=70°；
（3）先根据角平分线定义得到∠AMP=2∠1，∠2=∠3，由（2）得∠5=∠DFP=70°，再利用三角形外角性质得到∠5=∠2+∠3+∠PMB=2∠3+∠PMB，即2∠3+180°-2∠1=70°，接着根据平行线的性质，由PQ∥MN得到∠1=2∠3+∠4，所以2∠3+180°-2（2∠3+∠4）=70°，然后整理即可得到∠3+∠4=55°，即∠HPQ=55°．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-30}$+|x-2y|=0，
∴α=30，x=2y，
即∠E=30°；
（2）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠BME=∠DFE=y°，
∴∠EMG=180°-∠BME=180°-y°，
∵∠AGE=∠E+∠EMG，
即x°=30°+180°-y°，
∴2y°=210°-y°，解得y°=70°，
即∠DFE=70°；
（3）∠HPQ的度数不发生变化．
∵MN平分∠AMP，PH平分∠MPF，
∴∠AMP=2∠1，∠2=∠3，
∵∠5=∠DFP=70°，
而∠5=∠2+∠3+∠PMB=2∠3+∠PMB，
∴2∠3+180°-2∠1=70°，
∵PQ∥MN，
∴∠1=∠2+∠3+∠4=2∠3+∠4，
∴2∠3+180°-2（2∠3+∠4）=70°，
∴∠3+∠4=55°，
即∠HPQ=55°．

点评 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质．