如图.在直角坐标系xOy中.反比例函数y=mx的图象经过点A.B.过点A作x轴的垂线.垂足为点C(1.0)(1)若△AOC的面积是2.则m的值为 ,若OB=OA.则点B的坐标是 ,的条件下.AB所在直线分别交x轴.y轴于点M.N.点P在x轴上.PE⊥AB于点E.EF⊥y轴于点F．①若点P是线段OM上不与O.M重合的任意一点.PM=a.当a为何值时.PM=PF?②若点P是射线OM上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=

（x＞0）的图象经过点A，B，过点A作x轴的垂线，垂足为点C（1，0）
（1）若△AOC的面积是2，则m的值为

；若OB=OA，则点B的坐标是

；
（2）在（1）的条件下，AB所在直线分别交x轴，y轴于点M，N，点P在x轴上，PE⊥AB于点E，EF⊥y轴于点F．
①若点P是线段OM上不与O，M重合的任意一点，PM=a，当a为何值时，PM=PF？
②若点P是射线OM上的一点，设P点的横坐标为x，由P，M，E，F四个点组成的四边形的面积面积为y，试写出y与x的函数关系式及x的取值范围．

考点：反比例函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点C的坐标求出OC的长，再根据三角形的面积求出AC的长度，然后写出点A的坐标，再代入反比例函数解析式计算即可求出m的值，设点B的横坐标为x，表示出纵坐标，再利用勾股定理列式表示出OA、OB，然后列出方程求解即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点M的坐标，并得到∠OMN=45°，然后求出△PME是等腰直角三角形，过点E作EG⊥x轴于G，根据等腰直角三角形的性质求出PG、EG，再求出OF、OP，然后利用勾股定理列式求出PF，根据PM=PF列出方程求解即可得到a的值；
②分点P在点M的左边和右边两种情况，根据点P的横坐标表示出PM，根据等腰直角三角形的性质求出EF和点E的纵坐标，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵点C（1，0），
∴OC=1，
∴△AOC的面积=

×1×AC=2，
解得AC=4，
∴点C的坐标为（1，4），
∵反比例函数y=

（x＞0）的图象经过点A，
∴

=4，
解得m=4，
设点B的横坐标为x，则点B的纵坐标为

，
∵OB=OA，
∴

12+42

x2+(

，
两边平方并整理得，x⁴-17x²+16=0，
解得x₁=1（为点A），x₂=4，
∴点B的坐标为（4，1）；
故答案为：4，（4，1）；

（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b=4

4k+b=1

，
解得

k=-1

b=5

，
∴直线AB的解析式为y=-x+5，
∴∠OMN=45°，
令y=0，则-x+5=0，
解得x=5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵PE⊥AB，
∴△PME是等腰直角三角形，
过点E作EG⊥x轴于G，
∵PM=a，
∴PG=EG=

a，
∵EF⊥y轴，
∴OF=

a，OP=5-a，
由勾股定理得，PF=

OF2+OP2

(

a)2+(5-a)2

，
∵PM=PF，
∴

(

a)2+(5-a)2

=a，
整理得，a²-40a+100=0，
解得a₁=20-10

，a₂=20+10

（舍去）；
故，a=20-10

时，PM=PF；

②如图1，若点P在点M的左边，∵P点的横坐标为x，
∴PM=5-x，

∴MG=EG=

PM=

（5-x），
∴EF=OG=OM-MG=5-

（5-x）=

，
y=

（5-x+

）×

（5-x），
=

x²-

，
即y=

x²-

（0＜x＜5），
如图2，若点P在点M的右边时，∵P点的横坐标为x，
∴PM=x-5，
∴MG=EG=

PM=

（x-5），
∴EF=OG=OM+MG=5+

（x-5）=

，
y=

（x-5+

）×

（x-5），
=

x²-

，
即y=

x²-

（x＞5）．

点评：本题是反比例函数综合题型，主要利用了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法一次求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，梯形的面积公式，难点在于（2）②要分情况讨论．

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