Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．
（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；
（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；
（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出=，根据相似三角形的判定推出即可．
解答：（1）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．

（2）证明：过O作OE⊥AB于点E，垂足为E，
∵OE过O，
由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE=OB=2，
由勾股定理得：BE=2=AE，
即AB=2AE=4，
∵AC=2，
∴BC=2，
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB，
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2，
∴==，
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．
点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．