Question

16．△ABC中，AB=AC，O、I分别是其外心、内心，点D在AC上，且DI∥AB，DO的延长线交CI的延长线于M．求证：DM⊥CM．

Answer 1

分析 先用平行线的性质和三角形的外角的性质得出∠AID=∠CAM，进而得出点O，I，C，D四点共圆，再用直角三角形的两锐角互余即可得出结论．

解答 证明：

∵O是△ABC的外心，AB=AC，
∴AM⊥BC，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵DI∥AB，
∴∠IDC=∠BAC=2∠CAM，
∵∠IDC=∠CAM+∠ADO（三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和），
∴∠AID=∠CAM，
∵O是△ABC的外心，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠CAM，
∴∠AID=∠ACO，
∴点O，I，C，D四点共圆，
∴∠ODI=∠OCI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ACI=∠ICM，
∵OA=OC，
∴∠COM=2∠CAM，
在Rt△COM中，∠COM+∠OCM=90°，
∴∠ODC+∠ACI
=∠ODI+∠IDC+∠ACI
=∠OCI+2∠CAM+∠ACM
=∠COM+∠OCM
=90°，
∴∠CMD=90°，
∴DM⊥CM．

点评 此题是三角形五心，主要考查了三角形内心与外心的性质、圆周角定理、四点共圆的判定方法和等腰三角形的性质；判断点O，I，C，D四点共圆是解本题的关键．