Question

【题目】如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．

　　　　　

（1）求出的度数；

（2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．）

（3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．

【解析】

（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD(SAS),得出DF=GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2)的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF(SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．

（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．

理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG

由（1）∠AFC＝120°得，

∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）结论：AC＝AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE

∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，

∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．