【题目】如图1,在中,是直角,,、分别是、的平分线,、相交于点.
(1)求出的度数;
(2)判断与之间的数量关系并说明理由.(提示:在上截取,连接.)
(3)如图2,在△中,如果不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段、与之间的数量关系并说明理由.
【答案】(1)∠AFC=120°;(2)FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.理由见解析;(3)AC=AE+CD.理由见解析.
【解析】
(1)根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC,∠ACF即可解决问题;
(2)根据在图2的AC上截取CG=CD,证得△CFG≌△CFD(SAS),得出DF=GF;再根据ASA证明△AFG≌△AFE,得EF=FG,故得出EF=FD;
(3)根据(2)的证明方法,在图3的AC上截取AG=AE,证得△EAF≌△GAF(SAS)得出∠EFA=∠GFA;再根据ASA证明△FDC≌△FGC,得CD=CG即可解决问题.
(1)解:∵∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠BAC=90°﹣60°=30°,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠FAC=15°,∠FCA=45°,
∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠ACF)=120°
(2)解:FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.
理由:如图2,在AC上截取CG=CD,
∵CE是∠BCA的平分线,
∴∠DCF=∠GCF,
在△CFG和△CFD中,
,
∴△CFG≌△CFD(SAS),
∴DF=GF.∠CFD=∠CFG
由(1)∠AFC=120°得,
∴∠CFD=∠CFG=∠AFE=60°,
∴∠AFG=60°,
又∵∠AFE=∠CFD=60°,
∴∠AFE=∠AFG,
在△AFG和△AFE中,
,
∴△AFG≌△AFE(ASA),
∴EF=GF,
∴DF=EF;
(3)结论:AC=AE+CD.
理由:如图3,在AC上截取AG=AE,
同(2)可得,△EAF≌△GAF(SAS),
∴∠EFA=∠GFA,AG=AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°,
∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC,
∴∠CFG=∠CFD=60°,
同(2)可得,△FDC≌△FGC(ASA),
∴CD=CG,
∴AC=AG+CG=AE+CD.
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【题目】观察下列各式及其验证过程:,验证:., 验证: .
(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想的变形结果并进行验证.
(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
(3)针对三次根式及n次根式(n为任意自然数,且n≥2),有无上述类似的变形?如果有,写出用a(a为任意自然数,且a≥2)表示的等式,并给出验证.
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【题目】小明和小亮利用三张卡片做游戏,卡片上分别写有A,B,B.这些卡片除字母外完全相同,从中随机摸出一张,记下字母后放回,充分洗匀后,再从中摸出一张,如果两次摸到卡片字母相同则小明胜,否则小亮胜,这个游戏对双方公平吗?请说明现由.
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【题目】已知中,.
(1)如图1,在中,若,且,求证:;
(2)如图2,在中,若,且垂直平分,,,求的长;
(3)如图3,在中,当垂直平分于,且时,试探究,,之间的数量关系,并证明.
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【题目】如图,已知,两点在数轴上,点表示的数为-10,点到点的距离是点到点距离的3倍,点以每秒3个单位长度的速度从点向右运动.点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动(点、同时出发)
(1)数轴上点对应的数是______.
(2)经过几秒,点、点分别到原点的距离相等.
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【题目】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示(坐标系内正方形网格的单位长度为1):
(1)在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1,使△A1B1C1和△ABC的位似比为2:1且△A1B1C1位于y轴左侧;
(2)分别写出A1、B1、C1三个点的坐标:A1 、B1 、C1 ;
(3)求△A1B1C1的面积为 .
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【题目】如图,在中,,的垂直平分线交于,交于.
(1)若,则的度数是 ;
(2)连接,若,的周长是.
①求的长;
②在直线上是否存在点,使由,,构成的的周长值最小?若存在,标出点的位置并求的周长最小值;若不存在,说明理由.
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【题目】体育课上,老师为了解女学生定点投篮的情况,随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试,进球数的统计如图所示.
(1)求女生进球数的平均数、中位数;
(2)投球4次,进球3个以上(含3个)为优秀,全校有女生1200人,估计为“优秀”等级的女生约为多少人?
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【题目】某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖10件.设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)若每个月的利润不低于2160元,售价应在什么范围?
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