Question

19．如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，点F为CD中点，以AB，BD为边，AD为对角线作?ABDE，连结BE交AD于点O，且OF=BC=1，则AB的长为$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

Answer 1

分析 连接AC，由三角形的中位线定理证得AC=2OF=2，作CG⊥AB于G，由∠ABC=120°，求得∠CBG=60°，∠BCG=30°，进而求得BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由勾股定理求得AG，根据线段的和差求得结论．

解答 解：连接AC，则OF是△ACD的中位线，
∴AC=2OF=2，作CG⊥AB于G，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBG=60°，∠BCG=30°，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，CG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴AB=AG-BG=$\frac{\sqrt{13}}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

点评 本题是平行四边形的性质，主要考查了三角形的中位线定理，含30°直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．