Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；

（2）求△ABC的内切圆半径；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）2﹣；（3）存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】

（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得B,C点坐标；

（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，从而即可求出内切圆的半径；

（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．

解：（1）∵顶点坐标为（1，1），

∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，

又∵抛物线过原点，

∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，

即y＝﹣x2+2x，

联立抛物线和直线解析式可得，

解得或，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

∵A（1，1），

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形．

设△ABC的内切圆的半径为r，

∴r＝＝；

（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），

∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，

由（2）知，AB＝，BC＝3，

∵MN⊥x轴于点N，

∴∠ABC＝∠MNO＝90°，

∴当△ABC和△MNO相似时，有或，

①当时，

∴，即|x||﹣x+2|＝|x|，

∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，

∴x≠0，

∴|﹣x+2|＝，

∴﹣x+2＝±，解得x＝或x＝，

此时N点坐标为（，0）或（，0）；

②当时，

∴，

即|x||﹣x+2|＝3|x|，

∴|﹣x+2|＝3，

∴﹣x+2＝±3，

解得x＝5或x＝﹣1，

此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．