Question

如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y₁=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）根据函数图象写出y₁＜y₂时，x的取值范围．
（4）在坐标轴上是否存在一点P，使得△AOP为等腰三角形．若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵B（2，-4）在y₂=上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为y₂=-．
∵点A（-4，n）在y₂=-上，
∴n=2．
∴A（-4，2）．
∵y₁=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴．
解之得
．
∴一次函数的解析式为y₁=-x-2．

（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=-2．
∴点C（-2，0）．
∴OC=2．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=×2×2+×2×4=6．

（3）由图象可以看出，x＞2或-4＜x＜0时，y₁＜y₂．
（4）P点的坐标有P₁（-，0），P₂（0，5），P₃（-8，0），P₄（0，4），P₅（0，），P₆（，0），P₇（，0），P₈（0，-）．
分析：（1）把A（-4，n），B（2，-4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算；
（3）看在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数大于或等于反比例函数的函数值．
（4）根据等腰三角形的性质和判定在坐标轴上确定点P的位置，从而确定P的坐标．
点评：本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式．