Question

如图，P、Q分别是正方形ABCD中BC、CD边上一点，且BC=2，△CPQ的周长等于4，以A为圆心，AB长为半径作⊙A．
（1）求证：PQ是⊙A的切线．
（2）设PQ的长为x，△CPQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：过A作AE⊥PQ于E，延长QD到F使DF=PB，连接AF、AQ、AP，
∵正方形ABCD的边长BC=2，△CPQ的周长等于4，
∴CP+CQ+PQ=4，CP+BP+CQ+DQ=4，
∴PQ=DQ+BP，
∵DF=PB，
∴PQ=QF，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF=90°，
∵PQ=PB，
∴△ADF≌△ABP，
∴∠APB=∠F，AP=AF，
∵AP=AF，AQ=AQ，PQ=QF，
∴△APQ≌△AFQ，
∴∠F=∠APE，
∴∠APE=∠APB，
∵∠B=∠AEP=90°，AP=AP，
∴△APB≌△APE，
∴AE=AB=2，
∵AE⊥PQ，
∴PQ是⊙A的切线．

（2）解：∵PQ切圆A于E，DQ切圆A于D，
∴DQ=QE，
同理BP=PE，
CQ+CP=4-（DQ+BP）=4-x，
两边平方得：（CQ+CP）²=（4-x）²，
∴CQ²+2CQ•CP+CP²=16-8x+x²，
由勾股定理得：CQ²+CP²=PQ²=x²，
∴CQ•CP=8-4x，
∴y=CQ•CP=4-2x，
∵PB+DQ=PQ=x，
∴CQ+CP=4-x，
∴4-x＞0，且4-x＞x，
∴x＜4且x＜2，
∴x＜2，
答：y与x之间的函数关系式是y=4-2x，自变量x的取值范围是x＜2．
分析：（1）过A作AE⊥PQ于E，延长QD到F使DF=PB，连接AF、AQ、AP，根据SAS证△ADF≌△ABP，再根据SSS证△APQ≌△AFQ，再根据AAS证△APB≌△APE，推出AE=AB即可；
（2）求出CP+CQ=4-x，根据完全平方公式求出CQ•CP的值，即可求出三角形面积．
点评：本题主要考查对正方形的性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，三角形的面积，切线的判定，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．