Question

13．如图，在?ABCD中，DH=$\frac{1}{2}$AH，点F是边CD的中点，
（1）求证：BG=GE．
（2）求$\frac{HG}{GB}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的判定与性质得出△EDH∽△EBC，进而得出△ABG∽△EFG，即可得出△ABG≌△EFG得出答案即可；
（2）利用全等三角形的判定方法得出△ADF≌△CFM（ASA），进而得出△AHG∽△BGM，求出即可．

解答 （1）证明：
∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC AD=BC，
∴△EDH∽△EBC，
∵2DH=AH，
∴3DH=AD=BC，
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{HD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴ED=DF=FC=$\frac{1}{3}$EC，
∵点F是边CD的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴EF=2DF=AB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△EFG，
∴△ABG≌△EFG，
∴BG=GE；

（2）解：延长AF到BC延长线上，交BC于点M，
∵AD∥BC 且点F是边CD的中点，
∴在△ADF和△CFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠MCF}\\{DF=FC}\\{∠DFA=∠CFM}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△CFM（ASA），
∴CM=AD，
∵AD∥BC，
∴△AHG∽△BGM，
∴$\frac{AH}{BM}$=$\frac{HG}{BG}$=$\frac{1}{3}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△ADF≌△CFM是解题关键．