Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F．
（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）若AB=16，AC=12，求四边形ADCE的面积；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵平行四边形DBEC，
∴CE∥BD，CE=BD，
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴CE∥AD，CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又BC∥DE，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴AC⊥DE，
故四边形ADCE为菱形，

（2）在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，
∴BC=4，
∵D为AB中点，F也为AC的中点，
∴DF=2，
∴四边形ADCE的面积=AC×DF=24，

（3）应添加条件AC=BC．
证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）
分析：（1）由题意容易证明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四边形ADCE为菱形；
（2）根据解三角形的知识求出AC和DF的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形ADCE的面积；
（3）应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．
点评：本题主要考查正方形的判定、菱形的判定与性质和勾股定理等知识点，此题是道综合体，有一定的难度，解答的关键还是要能熟练掌握各种四边形的基本性质．