Question

（2013•江西模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（　　）

A．（3，4）（2，4）

B．（3，4）（2，4）（8，4）

C．（2，4）（8，4）

D．（3，4）（2，4）（8，4）（2.5，4）

Answer 1

分析：分为两种情况：①OD=OP，求出CP，即可求出P的坐标；②DP=OD=5，此时有两点，过P′作P′N⊥OA于N，求出CP′即可；同法可求P″的坐标．

解答：解：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，
在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理得PC=3，
则P的坐标是（3，4）；

②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，
过P′作P′N⊥OA于N，
在Rt△OP′N中，设CP′=x，
则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：4²+（5-x）²=5²，
x=2，
则P′的坐标是（2，4）；
过P″作P″M⊥OA于M，
设BP″=a，
则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，
在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）²+4²=5²，
解得：a=2，
∴BP″=2，CP″=10-2=8，
即P″的坐标是（8，4）；
假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ²十QD²=PD²，
∵0P=PD=5=0D，
∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=

1

2

0D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．
故选B．

点评：本题考查了坐标与图形性质，矩形性质，等腰三角形的判定的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意：一定要进行分类讨论．