Question

4．如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 连接AC、CF，由正方形的性质和相似三角形的判定方法证出△ABC∽△CEF，得出对应角相等∠ACB=∠CFE，证出∠ACF=90°，由勾股定理求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

解答 解：如图，连接AC、CF，
∵在矩形ABCD和矩形CEFG中，BC=AD=2，∠B=∠E=90°，
∴AC²=AB²+BC²=1²+2²=5，CF²=CE²+EF²=3²+6²=45，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{EF}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{CE}{EF}$，
∴△ABC∽△CEF，
∴∠ACB=∠CFE，
∵∠ECF+∠CFE=90°，
∴∠ACB+∠ECF=90°，
∴∠ACF=90°，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5+45}$=5$\sqrt{2}$，
∵H是AF的中点，
∴CH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．