Question

（2013•梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S_扇形FAB-S_△DAE-S_扇形EAB求出即可．

解答：解；（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，
∴AB=AE=4，
∴DE=

AE2-AD2

=2

3

，
∴EC=CD-DE=4-2

3

；

（2）∵sin∠DEA=

AD

AE

=

1

2

，
∴∠DEA=30°，
∴∠EAB=30°，
∴图中阴影部分的面积为：
S_扇形FAB-S_△DAE-S_扇形EAB
=

90π×42

360

-

1

2

×2×2

3

-

30π×42

360

=

8π

3

-2

3

．

点评：此题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．