Question

如图，正比例函数y=

1

2

x与反比例函数y=

k

x

的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x轴，垂足为C，且△BOC的面积等于4．
（1）求k的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）用B点坐标表示△BOC的面积建立关系式求k；
（2）解由函数解析式组成的方程组；
（3）存在．分别以OA为斜边和直角边分类讨论．

解答：解：（1）设点B（x，y），则BC=|y|=-y，CO=|x|=-x，
∵B（x，y）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴xy=k，因△BOC的面积等于4，

1

2

BC•CO=

1

2

(-x)•(-y)=

1

2

xy=4，
∴k=8；

（2）∵k=8，所以反比例函数的解析式为y=

8

x

，
解方程组：

y= 1 2 x y= 8 x

，得：x₁=4，y₁=2；x₂=-4，y₂=-2，
∴点A（4，2），B（-4，-2）；

（3）存在．
当AP⊥x轴时，如图（1）点P（4，0），
当AP⊥AO时，如图（2）设P（m，0），过点A作AD⊥x轴于D，
由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m-4，
在Rt△ADO中，AO²=AD²+DO²=20，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²=4+（m-4）²，
在Rt△AOP中，PO²=AO²+AP²，
即：20+[4+（m-4）²]=m²，解得m=5，
所以P（5，0），
综上，在x轴上存在点P（4，0）或P（5，0），使得△POA为直角三角形．

点评：注意点的坐标与线段长度的联系；分类讨论思想的应用，培养严谨的思维习惯．