Question

11．如图，已知抛物线y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$交X轴于A、B（A在B的左侧），直线：y=kx+3k始终过点A

（1）若直线与抛物线仅有唯一公共点，求直线的解析式；
（2）如图1，若直线交抛物线于另一交点C（x₁，y₁），交y轴于点M．连BC，作BD⊥BC于B交AC于点D，若$\frac{BC}{BD}$=5，求k的值；
（3）如图2，设P（-1，-2），连CP交抛物线于另一点E（x₂，y₂），连AE交y轴于点N，请你探究OM•ON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．

Answer 1

分析 （1）由直线y=kx+3k过点A，可求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，可求出a的值，联立直线与抛物线解析式，消去y可得到关于x的一元二次方程，由其判别式为零可求得k的值，可求得直线解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式，得到C点的坐标，作DF⊥x轴于F，CG⊥x轴于G，由△BDF∽△CBG，得到CG=5BF，BG=5DF，设BF=m，则CG=5m，DF=2k-km，BG=5（2k-km），则得到关于k的方程组，即可求出k值；
（3）直线PC解析式为y=ax+a-2，与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$联立得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系知x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，根据$\frac{OM}{OA}$•$\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$得到OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²，得到结果为定值．

解答 解：
（1）∵直线y=kx+3k过点A，
∴y=0时，0=kx+3k，解得x=-3，
∴A（-3，0），
把点A的坐标代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，得9a-12a+$\frac{3}{4}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$，
联立直线与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3k}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²+（4-4k）x+（3-12k）=0，
当直线与抛物线有唯一公共点时，可得方程x²+（4-4k）x+（3-12k）=0判别式为0，
∴（4-4k）²-4（3-12k）=0，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$；

（2）联立直线和抛物线解析式得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3k}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得C（4k-1，4k²+2k），
如图1，作DF⊥x轴于F，CG⊥x轴于G，

则△BDF∽△CBG，
∵CB=5BD，
∴CG=5BF，BG=5DF，
设BF=m，则CG=5m，DF=2k-km，BG=5（2k-km），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k-1+1=10k-5km}\\{5m=4{k}^{2}+2k}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{3}{2}$（舍去）或k=0（舍去）或k=1，
∴k的值为1；

（3）直线PC解析式为y=ax+a-2，与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$，联立消去y得：x²-4（a-1）x+11-4a=0，
∴x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，
∵$\frac{OM}{OA}$•$\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$=$\frac{\frac{1}{4}（{x}_{1}+1）（{x}_{1}+3）×\frac{1}{4}（{x}_{2}+1）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}$
=$\frac{1}{16}$（x₁+1）（x₂+1）=$\frac{1}{16}$（11-4a+4a-4+1）=$\frac{1}{2}$，
∴OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²=$\frac{9}{2}$，
即OM•ON的值不变，其值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题型，二次函数与三角形相似以及一元二次方程等知识的综合运用，熟练的运用数形结合是解决问题的关键．