Question

（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP与△BPC的面积的比值；
（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明；
（3）在四边形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，对角线AC平分∠BAD，请直接写出∠B和∠D的数量关系．

Answer 1

分析：（1）做PN⊥BC于N，由题意推出PM=PN，然后根据三角形的面积公式，即可推出两个三角形的面积之比．
（2）过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，推出△DAC≌△BAE，可知它们的面积相等，即可推出AM=AN，即可推出：∠AOD=∠AOE．
（3）根据题意画出图形，做CM⊥AB，CN⊥AD，推出△CMB≌△CND，即得∠B+∠D=180°．

解答：（1）解：如图1所示．（1分）
∵BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∴PM=PN．（2分）
∵S△ABP=

1

2

AB•PM，S△BPC=

1

2

BC•PN，AB=30，BC=23，
∴

S△ABP

S△BPC

=

AB

BC

=

30

23

．（3分）

（2）答：∠AOD与∠AOE的数量关系为相等．
证明：如图2，过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．
∵∠BAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE．
∴△DAC≌△BAE．
∴DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE．（4分）
∵S△DAC=

1

2

DC•AM，S△BAE=

1

2

BE•AN，
∴AM=AN．（5分）
∴点A在∠DOE的角平分线上．
∴∠AOD=∠AOE．（6分）

（3）作CM⊥AB，CN⊥AD，
则△CMB和△CND是直角三角形，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CM=CN，
在Rt△CMB和Rt△CND中，

CM=CN CB=DC

，
∴Rt△CMB≌Rt△CND（HL），
∴∠MBC=∠NDC，
∵∠MBC+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠B+∠D=180°．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的性质．