Question

已知反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m，

3

m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是

1

2

，设Q点的纵坐标为n，求n²-2

3

n+9的值．

Answer 1

（1）由题意得1=

k

- 3

，解得k=-

3

，
∴反比例函数的解析式为y=-

3

x

；

（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
在Rt△AOC中，OC=

3

，AC=1，
∴OA=

OC2+AC2

=2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=

3

，OD=

1

2

OB=1，
∴B点坐标为（-1，

3

），
将x=-1代入y=-

3

x

中，得y=

3

，
∴点B（-1，

3

）在反比例函数y=-

3

x

的图象上．

（3）由y=-

3

x

得xy=-

3

，
∵点P（m，

3

m+6）在反比例函数y=-

3

x

的图象上，其中m＜0，
∴m（

3

m+6）=-

3

，
∴m²+2

3

m+1=0，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是

1

2

，
∴

1

2

OM•QM=

1

2

，
∵m＜0，∴mn=-1，
∴m²n²+2

3

mn²+n²=0，
∴n²-2

3

n=-1，
∴n²-2

3

n+9=8．