Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）²-1（a≠0），将点C的坐标代入即可得出答案；
（2）由直线BC的解析式知，∠OBC=∠OCB=45°．又由题意知∠EFD=∠COB=90°，所以只有△EFD∽△COB．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为（2，-1），
∴可设该函数解析式为：y=a（x-2）²-1（a≠0），
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），
∴3=a（0-2）²-1，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式是y=（x-2）²-1（或y=x²-4x+3）；

（2）在y=x²-4x+3中，令y=0，则x²-4x+3=0，解得：x₁=1，x₂=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵抛物线y=（x-2）²-1的对称轴x=2，D点是抛物线的对称轴与直线BC的交点，
∴当x=2时，y=1，
∴D（2，1），
∴S_△ACD=S_△ABC-S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×3$-$\frac{1}{2}×2×1$=2；
假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．
由（1）知，该抛物线的解析式是y=x²-4x+3，即y=（x-1）（x-3），
∴该抛物线与x轴的交点坐标分别是A（1，0），B（3，0）．
∵C（0，3），
∴易求直线BC的解析式为：y=-x+3．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
又∵点D是对称轴上的一点，
∴D（2，1）．
如图，连接DF．
∵EF∥y轴，
∴只有∠EFD=∠COB=90°．
∵以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，
∴∠DEF=∠FDE=45°，
∴只有△EFD∽△COB．
设E（x，-x+3），则F（x，1），
∴1=x²-4x+3，
解得x=2±$\sqrt{2}$，
∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x²-4x+3=x-1，解得 x₁=1、x₂=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E₃（1，2）、E₄（4，-1）．
∴E（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）或E′（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）或（1，2）或（4，-1）．

点评 本题考查了二次函数综合题．解题时，利用了待定系数法求二次函数的解析式．注意解答（3）时，只有△EFD∽△COB一种情况．