Question

14．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x³+2x²-x-2可以因式分解为（x-1）（x+1）（x+2），当x=29时，x-1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．
（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x³-xy²分解因式后可以形成哪些数字密码？
（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x³y+xy³分解因式后得到的密码（只需一个即可）．

Answer 1

分析 （1）先分解因式得到x³-xy²=x（x-y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；
（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x²+y²=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．

解答 解：（1）x³-xy²=x（x-y）（x+y），
当x=15，y=5时，x-y=10，x+y=20，
可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}x+y=13\\{x^2}+{y^2}=121\end{array}\right.$解得xy=24，
而x³y+xy³=xy（x²+y²），
所以可得数字密码为24121．

点评 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键．