Question

20．在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，动点G在线段EF上运动，将线段AG绕点G顺时针旋转60°得到线段HG．
（1）当点H与D不重合时，求∠HDA的度数；
（2）当动点G从E运动到F时，求点H运动的路线长．

Answer 1

分析 （1）根据点H与D不重合，分两种情况：当EG＜$\frac{1}{2}\sqrt{3}$时，点H在直线AD的上方；当$\frac{1}{2}\sqrt{3}$＜EG≤1时，点H在直线AD的下方，分别根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求得∠HDA的度数；
（2）当点G与点E重合时，点H在AD上方，连接AH，求得HD的最大长度$\frac{1}{2}\sqrt{3}$；当点G与点F重合时，H在AD下方时，过H作HM⊥AD于M，根据勾股定理求得DH的最大长度1-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，最后得出点H运动路径长=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$+1-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$=1．

解答 解：（1）如图所示，当点H与点D重合时，AG=GH=AD=1，

∴EG=$\sqrt{3}$AE=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，
当点H与D不重合时，分两种情况：
①如图所示，当EG＜$\frac{1}{2}\sqrt{3}$时，点H在直线AD的上方，

连接GD，设∠GDA=α，则∠GAD=∠GDA=α，
∴∠AGD=180°-2α，
∵∠AGH=60°，
∴∠HGD=120°-2α，
∵GD=GH，
∴∠HDG=30°+α，
∴∠HDA=30°，即点H在过点D且与AD的夹角为30°的直线上；
②如图所示，当$\frac{1}{2}\sqrt{3}$＜EG≤1时，点H在直线AD的下方，

此时，∠HDA=180°-30°=150°；
综上所述，∠HDA的度数为30°或150°；

（2）由（1）可得，当动点G从E运动到F时，点H运动路径为一条线段，
如图所示，当点G与点E重合时，点H在AD上方，连接AH，则△AGH为边长是$\frac{1}{2}$的等边三角形，

∴∠AHD=90°，
∴HD的最大长度=$\sqrt{3}$AH=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$；
如图所示，当点G与点F重合时，H在AD下方时，过H作HM⊥AD于M，则∠HDM=30°，

设HM=x，则DH=2x，DM=$\sqrt{3}$x，
在Rt△AHM中，AH=AF=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，AM=1+$\sqrt{3}$x，
∵AH²=AM²+HM²，
∴（$\frac{1}{2}\sqrt{5}$）²=（1+$\sqrt{3}$x）²+x²，
解得x=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
此时DH的最大长度=2x=1-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$，
∴点H运动路径长=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$+1-$\frac{1}{2}\sqrt{3}$=1．

点评 本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握旋转的性质，依据∠HDA=30°得出：当动点G从E运动到F时，点H运动轨迹为一条线段．解题时需要作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理进行求解．