练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在△ABC中，AB=AC，E是高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A，D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于G，与AC交于H，连接GE并精英家教网延长交BC于点I，连接HE并延长交BC于点J，连接GJ，HI．
    （1）求证：四边形GHIJ是矩形；
    （2）若BC=10，AD=6，设DE=x，S矩形GHIJ=y．
    ①求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    ②点E在何处时，矩形GHIJ的面积与△AGH的面积相等？
    分析：（1）易得△GEF≌△IED，△FHE≌△DJE，则有GE=EI，EH=JE，所以四边形GHIJ是平行四边形，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，AF垂直平分GH?EF∥HI（三角形中位线定理）?HI⊥GH?四边形GHIJ是矩形．
    （2）由于矩形GHIJ的面积=GH•FD，△AGH的面积=
    1
    2
    HG•AF，所以要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，建立关于ED的方程，求得ED即可．
    解答：（1）证明：∵F，E关于点D对称，
    ∴FE=ED（1分）
    又∵GH∥BC，
    ∴∠FGE=∠EID，
    ∵∠GEF=∠DEI，
    ∴△GEF≌△IED，
    ∴GE=EI，（2分）
    同理可证EH=JE，（3分）
    ∴四边形GHIJ是平行四边形，（4分）
    ∵AB=AC，GH∥BC，AD⊥BC，
    ∴AF垂直平分GH，
    ∴EF∥HI（三角形中位线定理），
    ∴HI⊥GH，四边形GHIJ是矩形．（5分）

    （2）解：①由（1）得，DF=2ED=2x，
    ∵GH∥BC，
    ∴△AGH∽△ABC，
    ∴
    AF
    AD
    =
    GH
    BC
    ，
    ∴
    6-2x
    6
    =
    GH
    10
    ．
    即GH=
    5
    3
    （6-2x）=10-
    10
    3
    x．
    ∴S矩形GHIJ=HI•GH=2x•（10-
    10
    3
    x）=-
    20
    3
    x2+20x，（6分）
    ∵AF=6-2x＞0，
    ∴x＜3，∴0＜x＜3．（7分）
    ②解法（一）：
    ∵S△AGH=
    1
    2
    AF•GH=
    1
    2
    •（6-2x）•（10-
    10
    3
    x），S矩形GHIJ=2x•（10-
    10
    3
    x），
    依题意，得：
    1
    2
    •（6-2x）•（10-
    10
    3
    x）=2x•（10-
    10
    3
    x），（8分）
    解得：x1=1，x2=3（x＜3，舍去），
    即：当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．（9分）

    解法（二）：要使矩形GHIJ的面积等于△AGH的面积，则需AF=2DF，（8分）
    即6-2x=4x，∴x=1，
    ∴当点E与点D的距离为1时，四边形GHIJ的面积与△AGH的面积相等．（9分）
    点评：本题利用了对称的概念，全等三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的判定，三角形和矩形的面积公式求解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
    75
    度．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰三角形，如此继续下去，直到所画出的直角三角形的斜边与△ABC的BC重叠，这时这个三角形的斜边为
    （　　）
    A、
    1
    2
    B、（
    		2
    2
    ）7
    C、
    1
    4
    D、
    1
    8

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=100°，∠B=
     
    度．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    14、如图，在△ABC中，AB=BC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，若BC=10，AC=6cm，则△ACE的周长是
    16
    cm．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案