Question

如图，直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线经过A、B、C三点．点C的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请直接写出一点D的坐标，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：特定专题

分析：（1）令y=-x+3中的x=0，得y=3，∴B点的坐标为（0，3），令y=-x+3中的y=0，得x=3，∴A点的坐标为（3，0），然后用待定系数法求出过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点的抛物线的解析式即可；
（2）分别以AB、BC、AC为对角线，构造平行四边形，由平行四边形的性质，结合抛物线的图象即可求出符合条件的D点．

解答：解：（1）令y=-x+3中的x=0，得y=3，
∴B点的坐标为（0，3），
令y=-x+3中的y=0，得x=3，
∴A点的坐标为（3，0），
设过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点的抛物线的解析式为：
y=ax²+bx+c，
将A、B、C三点代入上式得：

9a+3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4 c=3

．
∴过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=x²-4x+3．

（2）以AB为对角线，构造平行四边形ACBD，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴AC∥BD且AC=BD=2，
∴D（2，3），
以BC为对角线，构造平行四边形CABD′，
∵四边形CABD′是平行四边形，
∴AC∥BD′且AC=BD′=2，
∴D′（-2，3），
以AC为对角线，构造平行四边形ABCD″，
∴BC∥AD″且BC=AD″，
在△COB与△AED″中，

∠BOC=∠AED″ ∠BCO=∠EAD″ BC=AD″

，
∴△COB≌△AED″（AAS）
∴AE=OC=1，ED″=BO=3，
∴OE=4，
∴D″（4，-3），
∴以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形的D点有3个：
D（2，3），D′（-2，3），D″（4，-3）．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，以及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．