Question

4．阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：一般地，n个相同的因数a相乘：$\underset{\underbrace{a•a…a}}{n个}$记为aⁿ．如2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=n），如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=4）．
问题：（1）计算以下各对数的值：log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，然后利用4、16、64之间的数量关系猜想log₂4、log₂16、log₂64之间又满足怎样的关系式？答：log₂4、log₂16、log₂64关系式为log₂4+log₂16=log₂64．
（3）由（2）的结果，请你能归纳出：log_aM+log_aN=log_aM+log_aN=log_aMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．

Answer 1

分析 （1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）首先可设log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根据幂的运算法则：aⁿ•a^m=a^n+m以及对数的含义，得出结论：log_aM+log_aN=log_aMN．

解答 解：（1）∵2²=4，2⁴=16，2⁶=64，
∴log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6，
故答案为：2，4，6；

（2）由（1）知，∵2+4=6，
∴log₂4+log₂16=log₂64=log₂（4×16），
故答案为：log₂4+log₂16=log₂64；

（3）设log_aM=x，log_aN=y，
则a^x=M，a^y=N，
∴MN=a^x•a^y=a^x+y，
∴x+y=log_aMN，即log_aM+log_aN=log_aMN
故答案为：log_aM+log_aN=log_aMN．

点评 此题主要考查了数字的变化规律．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．