Question

若p、q、m为整数，且三次方程x³+px²+qx+m=0有整数解c，则将c代入方程得：c³+pc²+qc+m=0，移项得：m=-c³-pc²-qc，即有：m=c×（-c²-pc-q），由于-c²-pc-q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x³+px²+qx+m=0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x³+4x²+3x-2=0中-2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x³+4x²+3x-2=0进行验证得：x=-2是该方程的整数解，-1，1，2不是方程的整数解．
解决问题：
（1）根据上面的学习，请你确定方程x³+x²+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数？
（2）方程x³-2x²-4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1，-1，7，-7这四个数．
（2）该方程有整数解．
方程的整数解只可能是3的因数，即1，-1，3，-3，将它们分别代入方程x³-2x²-4x+3=0
进行验证得：x=3是该方程的整数解．
分析：（1）认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x³+px²+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”，再作答．
（2）根据分析（1）得出3的因数后再代入检验可得出答案．
点评：本题考查同学们的阅读能力以及自主学习、自我探究的能力，该类型的题是近几年的热点考题．
认真学习题目给出的材料，掌握“整数系数方程x³+px²+qx+m=0的整数解只可能是m的因数”是解答问题的基础．