Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌△ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是（　　）

• A、①②
• B、①②④
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

分析：有条件可直接证得△ACD≌△ACE；有三角形全等的性质可得CD=CE，又因为AD=AE所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；取CF的中点O连接BO，可得CE=2BO，再证明BF=BO即可，即问题转化为证明△EBC≌△EHC．再利用三角形的外角性质问题③④可得证．

解答：解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°．
∵AB=CB，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°．
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△ADC．
∴①△ACD≌△ACE正确．
∵△AEC≌△ADC，
∴DC=CE．
又∵AD=AE，
∴AC是DE的垂直平分线．
即AC垂直平分ED．
∴②AC垂直平分ED正确．
易证F、A、B、C共圆，
因为BC为弦，∠CFB=CAB=45°，FB∥CD，
所以∠FCD=45°，∠ACE=∠ACD=22.5°，
又因为∠ACB=45°，
所以∠FCB等于22.5，
故④正确；
延长DA，交BF延长线于M，
易证MBCD是平行四边形，对
角相等，所以∠M=67.5°，
易证∠FAB=∠FCB（以FB为弦，亦可以用8字结构，相似），
所以∠FAE=22.5°，
所以∠MAF=67.5°，
所以∠M=∠MAF，
故AF=MF，
易证∠EBF=22.5°，
所以∠FAB=∠FBA，
所以AF=FB，
所以MF=BF，
又因为MB=CD=CE（对边以及全等），
所以2FB=CE④∵∠ABC=90°，OE=OC，
∴BO=CO=

1

2

CE
∴∠OCB=∠OBC．
∵∠FOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠FOB=2∠OCB．
∵BF∥CD，
∴∠BFO=∠DCF．
∵∠BFO=∠DCF=∠FOB，
∴∠BFO=∠FOB．
∴BF=OB．
∴BF=

1

2

CE，
即CE=2BF，故③正确．
故答案选D．

点评：本题考查了三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是45°，题目难度不小，有一定的综合性．