Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，一次函数y=k（x-1）-

k2

4

，若它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为

 

．

Answer 1

分析：根据题意由y=ax²+bx+c①，y=k（x-1）-

k2

4

②，组成的方程组只有一组解，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+c+k+

k2

4

=0，则△=（b-k）²-4a（c+k+

k2

4

）=0，整理得到（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0，由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，求出a，b，c即可．

解答：解：根据题意得，
y=ax²+bx+c①，
y=k（x-1）-

k2

4

②，
解由①②组成的方程组，消去y，整理得，ax²+（b-k）x+c+k+

k2

4

=0，
∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
∴x有两相等的值，
即△=（b-k）²-4a（c+k+

k2

4

）=0，
∴（1-a）k²-2（2a+b）k+b²-4ac=0，
由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b²-4ac=0，
∴a=1，b=-2，c=1，
所以二次函数的解析式为y=x²-2x+1．
故答案为：y=x²-2x+1．

点评：本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式．二次函数的一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；也考查了利用方程组的解的情况确定函数图象交点的问题，而方程组的解的情况转化为一元二次方程根的情况．