Question

14．如图，抛物线y=ax²-4ax+b与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，直线y=x-3经过M，B两点交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设P为x轴上一动点，过P作PC的垂线交直线BD于Q，连接CQ．求∠PQC的度数．

Answer 1

分析 （1）求出M、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图，取CQ的中点H，连接PH、BH．首先证明P、C、B、Q四点共圆，再利用圆周角定理即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=ax²-4ax+b，对称轴x=2，
∵抛物线的顶点为M，直线y=x-3经过M，
∴M（2，-1），∵B（3，0），
把M（2，-1），B（3，0）代入y=ax²-4ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{-4a+b=-1}\\{-3a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图，取CQ的中点H，连接PH、BH．

∵直线BC的解析式为y=-x+3，直线BM的解析式为y=x-3，
∵-1×1=-1，
∴BC⊥BM，
∴∠CBQ=∠CPQ=90°，
∴HP=HC=HQ=HB，
∴P、C、B、Q四点共圆，
∴∠PQC=∠CBP，
∵OC=OB=3，∠COB=90°，
∴∠CBO=45°，
∴∠PQC=45°．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、两直线的位置关系、圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考常考题型．