Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x²-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出

AM

AB

，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；
（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可．

解答：解：（1）抛物线y=x²-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）²-3，
顶点M（1，-3），
令x=0，则y=（0-1）²-3=-2，
点A（0，-2），
x=3时，y=（3-1）²-3=4-3=1，
点B（3，1）；

（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴

AM

AB

=

AF

AE

=

1

3

，
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，
∴tan∠ABM=

AM

AB

=

1

3

；

（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=（x-1）²-3=x²-2x-2，
∴设点P（x，x²-2x-2），
①点P在x轴的上方时，

x2-2x-2

x

=

1

3

，
整理得，3x²-7x-6=0，
解得x₁=-

2

3

（舍去），x₂=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②点P在x轴下方时，

-(x2-2x-2)

x

=

1

3

，
整理得，3x²-5x-6=0，
解得x₁=

5- 97

6

（舍去），x₂=

5+ 97

6

，
x=

5+ 97

6

时，x²-2x-2=-

1

3

×

5+ 97

6

=-

5+ 97

18

，
∴点P的坐标为（

5+ 97

6

，-

5+ 97

18

），
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（

5+ 97

6

，-

5+ 97

18

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论．