Question

在直角坐标系中，正方形ABCD上点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（2，1），则点D的坐标为______；若以C为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，点A的对应点为A₁，则A₁的坐标为______；再以A₁为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，得到点C的对应点C₁，若重复以上操作，则点A₅的坐标为______．

Answer 1

设A点坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），
∵正方形ABCD上点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（2，1），
∴正方形ABCD的边长为

(0-2)2+(2-1)2

=

5

，对角线AC=

10

，
∴

(c-0)2+(d-2)2=( 10 )2 (c-2)2+(d-1)2=( 5 )2

，解得：c=3，d=-3；

(b-2)2+a2=( 5 )2 (a-2)2+(b-1)2=( 10 )2

，解得：a=1，b=4．
故AC所在直线方程为：y=-3x+7，点D的坐标为（3，3）．
（1）若以C为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，点A的对应点为A₁，
则A1C=

10

，设A₁点坐标为（x，y），则（x-2）²+（-3x+7-1）²=（

10

）²，解得：x=3，x=1（舍去），
∴y=-3×3+7=-2，
∴点A₁的坐标为（3，-2）；

（2）再以A₁为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，得到点C的对应点C₁，若重复以上操作，则点C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅都在AC所在的直线方程上，A₅C=9

10

，
设A5的坐标为（u，v），则（u-2）²+（-3u+7-1）²=（9

10

）²，解得：u=11，u=-7（舍去），
∴v=-3×11+7=-26，
∴点A5的坐标为（11，-26）．