Question

如图，等腰Rt△ABC中，CA=CB=8

2

，点P是AB上一动点，设AP=x，操作：在射线AB上截取PQ=AP，以PQ为一边向上作正方形PQMN，设正方形PQMN与Rt△ABC重叠部分的面积为S．
（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）此题要分情况讨论：当0＜x≤

16

3

时，重叠部分的面积即为正方形的面积；当

16

3

＜x＜8时，则重叠部分的面积即为正方形的面积减去等腰直角三角形的面积；当8≤x＜16时，重叠部分的面积即为等腰直角三角形的面积；
（2）分别求得每一种情况的面积最大值，再进一步比较，取其中的面积最大值即可．

解答：解：（1）如图，当0＜x≤

16

3

时，则S=x²；
当

16

3

＜x＜8时，则S=x²-

1

2

（x-16+2x）²=-

7

2

x2+48x-128；
当8≤x＜16时，则S=

1

2

(16-x)2=

1

2

x2-16x+128．

（2）当0＜x≤

16

3

时，则S=x²，则当x=

16

3

时，最大值S=

256

9

；
当

16

3

＜x＜8时，则S=x²-

1

2

（x-16+2x）²=-

7

2

x2+48x-128，则当x=

48

7

时，最大值S=

256

7

；
当8≤x＜16时，则S=

1

2

(16-x)2=

1

2

x2-16x+128，当x=8时，最大值S=32．
综上所述，当x=

48

7

时，最大值S=

256

7

．

点评：此题关键是能够正确分析出重叠的不同情况，能够根据建立的二次函数关系式，分析得到其最大值．