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【题目】RtABC中,∠ACB90°,AC1,记∠ABCα,点D为射线BC上的动点,连接AD,将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE,过点AAD的垂线,与射线DE交于点P,点B关于点D的对称点为Q,连接PQ

1)当△ABD为等边三角形时,

①依题意补全图1

PQ的长为   

2)如图2,当α45°,且BD时,求证:PDPQ

3)设BCt,当PDPQ时,直接写出BD的长.(用含t的代数式表示)

【答案】1)①详见解析;②2;(2)详见解析;(3BD

【解析】

1)①根据题意画出图形即可.

②解直角三角形求出PA,再利用全等三角形的性质证明PQPA即可.

2)作PFBQFAHPFH.通过计算证明DFFQ即可解决问题.

3)如图3中,作PFBQFAHPFH.设BDx,则CDxt ,利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题.

1)解:①补全图形如图所示:

②∵△ABD是等边三角形,ACBDAC1

∴∠ADC60°,∠ACD90°

∵∠ADP=∠ADB60°,∠PAD90°

PAADtan60°=2

∵∠ADP=∠PDQ60°,DPDPDADBDQ

∴△PDA≌△PDQSAS

PQPA2

2)作PFBQFAHPFH,如图:

PAAD

∴∠PAD90°

由题意可知∠ADP45°

∴∠APD90°﹣45°=45°=∠ADP

PAPD

∵∠ACB90°

∴∠ACD90°

AHPFPFBQ

∴∠AHF=∠HFC=∠ACF90°

∴四边形ACFH是矩形

∴∠CAH90°,AHCF

∵∠ACH=∠DAP90°

∴∠CAD=∠PAH

又∵∠ACD=∠AHP90°

∴△ACD≌△AHPAAS

AHAC1

CFAH1

BC1BQ关于点D对称

FDQ中点

PF垂直平分DQ

PQPD

3)如图3中,作PFBQFAHPFH.设BDx,则CDxt

PDPQPFDQ

∵四边形AHFC是矩形

∵△ACB∽△PAD

∵△PAH∽△DAC

解得

故答案是:(1)①详见解析;②2;(2)详见解析;(3

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